随机进程是提醒和讨论客观国际动态随机现象数量联系及其改动规则的运用数学理论，随机进程学科最早源于爱因斯坦1905年对布朗运动的定量研讨，

  因为微观可观测物理量与许多微观粒子的计算特性有关，因而爱因斯坦只重视由许多质点组成的热力学系统的计算规则，而没有去研讨单个质点的随机运动规则。

  1913年，18岁的维纳在完结哈佛大学的博士论文答辩后，向校园申请了游览奖学金，并挑选在英国剑桥大学留学。

  维纳在剑桥大学师从英国哲学家罗素，罗素和其教师编著的《数学原理》正是维纳博士论文重视的要点。罗素的《数学原理》是关于哲学、数学和数理逻辑的巨作，也是数理逻辑开展史上的一个重要里程碑，奠定了20世纪数理逻辑开展的根底。

  罗素对物理学中的重要发现有着敏锐的嗅觉，他教训维纳牢牢记住：数学很重要，但有必要要有坚实的物理概念进行支撑，并主张维纳去阅览爱因斯坦1905 年宣布的三篇研讨论文。

  维纳在阅览完爱因斯坦关于布朗运动的研讨论文后发现，爱因斯坦研讨的是许多布朗粒子随机运动的计算规则，而没有触及单个微粒运动轨迹的数学性质。

  与爱因斯坦重视许多质点的计算行为不同，维纳关怀的是“一个质点所走曲线年开端，维纳宣布了一系列关于布朗运动的数学论文，并给出了严厉的布朗运动数学界说及性质。

  假定一个质点在x轴上从原点出发生布朗运动，则质点在t时刻的位移x(t)是时刻t的函数,x(t)的函数图画（质点位移轨迹）见图1（b）。

  假定许多的质点在x轴上从原点出发生布朗运动，则每个质点在t时刻的位移x_{i}(t)仍然是时刻t的函数，i=1,2,......。在随机进程理论中，x_{i}(t)被称为样本函数或样本轨迹。

  图2（a）给出了许多质点t时刻在x轴上的方位x_{i}(t)，图2（b）给出了1000个质点的位移轨迹。

  随机变量X(t)的方差2Dt与时刻t成正比，标明一切布朗粒子随时刻不断向远离原点的方向分散。

  随机进程运用二元函数X(\omega,t)来描绘动态随机现象在空间和时刻的演化进程。

  关于固定的时刻t，X(\omega,t)是状况变量\omega的函数，称为随机变量，简记为X(t)；关于固定的状况\omega，X(\omega,t)为时刻变量t的函数，称为样本函数或样本轨迹，简记为x(t)。

  一个样本函数x(t)对应着随机试验中的一次“丈量成果”，即人们调查到的实践随机现象随时刻演化的进程，如图1所示的布朗粒子位移曲线，因而x(t)也被称为随机进程的一个“完成”。

  图4为随机进程X(\omega,t)、随机变量X(t)和样本函数x(t)三者之间的联系示意图。

  图中的三条样本函数曲线}(t)可分别看成是三个随机运动质点的位移曲线，一切质点在t时刻的方位{x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t)}（图中红点）便是随机变量X(t)在t时刻的状况或取值。随机进程X(\omega,t)

  即可成是许多随机变量X(t)的调集，也可看成是一切样本轨迹x(t)的调集。从图4的随机进程界说能够精确的看出，随机变量X(t)和样本函数x(t)

  X(t)用来描绘许多质点在某一时刻的空间方位散布，而样本函数x(t)则用来描绘一个质点的位移随时刻改动进程。图5给出了物理学质点随机运动与随机进程的对应联系。>

  X(t)表明一切质点在t时刻的空间方位{x_{1}(t),x_{2}(t),......}，而不是某一个质点的位移x(t)。可是在许多《随机进程》教科书中，却呈现了用随机变量X(t)来描绘单个质点位移x(t)的概念性过错。二、维纳进程的理论缺点

  X(\omega,t)。维纳进程只界说了描绘许多布朗粒子空间散布状况的随机变量X(t)，能够描写许多布朗粒子随时刻分散时的空间方位散布特性。可是，维纳进程并不触及固定\omega时的X(\omega,t)

  x(t)进行界说。为了研讨“一个质点所走曲线的数学性质”，维纳竟将随机变量X(t)当作单个布朗粒子的位移，无形中将研讨目标从单个质点改动为质点调集

  X(t)的计算特性来描绘单个布朗粒子的运动规则，得出了“布朗粒子位移遵守正态散布”、“布朗粒子位移与时刻的平方根成正比”和“布朗粒子瞬时速度无穷大（样本轨迹处处不行导）”等过错定论。现实上，从图3 的1000个布朗粒子的位移曲线能够精确的看出，一切布朗粒子在t时刻的空间方位{x_{1}(t),x_{2}(t),......

  x(t)具有确定性的分散趋势，不遵守正态散布。2010年，美国得克萨斯大学的李统藏成功地丈量到了单个布朗粒子的瞬时速度，其波形为白噪声（图6）。李统藏的试验依据成果得出：布朗运动样本轨迹的导数不只存在，并且可观测。

  。假定咱们开始将粒子放置在方位X_{0}，然后将之移动到方位X_{1}，然后再将之移动到X_{2},......。所以，粒子在空间S中运动的轨迹便成为一个随机变量序列X_{0},X_{1},X_{2},...，其间X_{n}表明该粒子在时刻n（即运动n步后）时所在的状况（或方位），咱们称这个随机变量序列为一个离散时刻参数的随机进程。因而，咱们我们能够将随机进程了解为一条随机轨迹，随机进程的实质是这条随机轨迹的散布。调查图1中一个质点位移x(t)随时刻t

  x(t)是时刻t的函数，可看作是固定\omega时的随机进程X(\omega,t)，因而，质点位移随时刻t的改动进程只能被笼统为随机进程X(\omega,t)中的一条样本轨迹x(t)，而非随机变量X(t)。《运用随机进程》教材将一个质点在不同时刻的方位x(t)直接笼统为随机变量X(t)

  一个质点变为许多质点，改动了样本函数x(t)的内在与外延，必然会推导出一系列与现实不符的过错定论。2、混杂样本函数与随机变量的差异

  x(t)在t时刻的取值便是随机变量X(t)在t时刻的状况，因而，随机变量X(t)和样本轨迹x(t)是两个具有不一样界说域和值域的函数。可是，《运用随机进程》教材却混杂了样本函数x(t)与随机变量X(t)

  x(t)的性质时，用随机变量符号X(t)直接表明样本轨迹x(t)，无形中将研讨目标从样本轨迹改动为随机变量，导致推导出的样本轨迹性质与现实不符的。四、随机进程学科面对严峻范式革新

  混杂了样本函数与随机变量的差异，无形中导致研讨目标从样本函数改动为随机变量，为自然科学、工程技术和社会科学供给了过错的理论、办法及东西。因而，随机进程学科有必要要敏捷纠正维纳的研讨办法过错，在时刻函数范式下重建样本函数理论。

  \delta(\tau)为单位冲击函数。依据维纳-辛钦定理，平稳随机进程的功率谱密度是其自相关函数的傅立叶改换，可得单个布朗粒子瞬时速度v(t)的功率谱密度

  N_{0}的白噪声。图7给出了新、旧两种范式下布朗运动样本轨迹性质的研讨成果。新范式与旧范式之间没有公约数，只要研讨目标的不同，以及样本函数与随机变量、元素与调集、时刻与空间等质的不同。>

  总归，《随机进程》教科书将一个质点的位移笼统为随机变量的研讨办法及定论，与物理学理论和试验成果严峻不符。“与实践结合，问题驱动”是随机进程等运用数学学科开展的不竭动力和重要特征，随机进程学科的样本轨迹研讨办法将面对严峻范式革新，其研讨成果将推翻和改动现有自然科学、工程技术和社会科学对动态随机现象的知道，引发一场耐久广泛的科学革新，为我国的随机进程学科进入国际一流前列供给了千载一时的历史性开展机会。